题目内容
AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,若|AB|=1,则AB中点的横坐标为分析:设A(x1,y1),B(x2,y2),当|AB|=1时,根据抛物线性质可知x1+
+x2+
=|AB|求得x1+x2,进而可得AB中点的横坐标;当AB的倾斜角为α,可知直线AB斜率为k=tanα设直线AB是y-0=tanα(x-
)与抛物线方程联立消去y求得x1+x2,进而根据抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离求得|AB|.
p |
2 |
p |
2 |
p |
2 |
解答:解:抛物线y2=2px,∴焦点为(
,0),准线方程为x=-
设A(x1,y1),B(x2,y2)
①根据抛物线性质可知,x1+
+x2+
=|AB|=1
∴x1+x2=1-p
∴AB中点的横坐标
=
②k=tanα
所以直线AB是y-0=tanα(x-
)
代入抛物线方程得
tan2αx2-tan2αpx+tan2α
=2px
tan2αx2-(tan2αp+2p)x+tan2α
=0
所以x1+x2=
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
所以A横坐标是x1,所以A到准线距离=x1+
B到准线距离=x2+
所以AB=AF+BF=
p |
2 |
p |
2 |
设A(x1,y1),B(x2,y2)
①根据抛物线性质可知,x1+
p |
2 |
p |
2 |
∴x1+x2=1-p
∴AB中点的横坐标
x1+x2 |
2 |
1-p |
2 |
②k=tanα
所以直线AB是y-0=tanα(x-
p |
2 |
代入抛物线方程得
tan2αx2-tan2αpx+tan2α
p2 |
4 |
tan2αx2-(tan2αp+2p)x+tan2α
p2 |
4 |
所以x1+x2=
tan2αp+2p |
tan2α |
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
所以A横坐标是x1,所以A到准线距离=x1+
p |
2 |
B到准线距离=x2+
p |
2 |
所以AB=AF+BF=
2p |
sin2α |
点评:本题主要考查了抛物线的性质.要特别利用好“抛物线的抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离”的性质.
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