题目内容

已知平面上两定点C（-1，0），D（1，0）和一定直线l：x=-4，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(
PQ
+2
PC
)•(
PQ
-2
PC
)=0．
（1）问点P在什么曲线上，并求出曲线的轨迹方程M；
（2）又已知点A为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，直线DA与曲线M的交点B不在y轴的右侧，且点B不在x轴上，并满足
AB
=2
DA
，求p的最小值．
分析：（1）先由(
PQ
+2
PC
)(
PQ
-2
PC
)=0．得|
PQ
|=2|
PC
|．法一：转化为到定点的距离和到定直线的距离问题即椭圆定义，就可求出点P所在曲线以及曲线的轨迹方程M；
法二：直接设出点P的坐标，代入整理即可求出点P所在曲线以及曲线的轨迹方程M；
（2）先把点B的坐标设出来，利用
AB
=2
DA
求出点A的坐标，再利用点A为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，求出p和点B的坐标之间的关系，最后利用点B所在位置的限制求出p的最小值即可．
解答：精英家教网解：（1）由(
PQ
+2
PC
)(
PQ
-2
PC
)=0．得|
PQ
|=2|
PC
|．
法一：动点P到定点C（-1，0）的距离与到定直线l：x=-4的距离之比为常数，
所以点P在椭圆上．
由
e=
c
a
=
1
2
a2
c
-c=
b2
c
=3
?a=2，b=
3
，c=1．
所以所求的椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
法二：设P（x，y）代入|
PQ
|=2|
PC
|．得点P的轨迹方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）椭圆的右焦点为D（1，0），点B在椭圆
x2
4
+
y2
3
=1（-2＜x≤0）上，设B（x0，y0），其中-2＜x0≤0
由
AB
=2
DA
，知xA=
x0+2
3
，yA=
y0
3
．
由点A在抛物线y2=2px上，得
y
2
0
9
=2p•
x0+2
3
．
又
y
2
^
3
=1-
x
2
0
4
，∴8p=
4-
x
2
0
x0+2
．
令t=x0+2，则0＜t≤2，
即8p=
-t2+4t
t
=-t+4，∵0＜t≤2∴当t=2时p最小
∴p=
1
4
，又当t=2时，x0=0为椭圆与y轴的交点．
故p的最小值为
1
4
点评：本题综合考查了椭圆的定义，直线与抛物线的位置关系以及向量共线问题．是一道综合性很强的好题．
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   （1）问点在什么曲线上，并求出曲线的轨迹方程M；

   （2）又已知点A为抛物线上一点，直线DA与曲线M的交点B不在 轴的右侧，且点B不在轴上，并满足的最小值．[来源:学

 
已知平面上两定点C（-1，0），D（1，0）和一定直线l：x=-4，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且．
（1）问点P在什么曲线上，并求出曲线的轨迹方程M；
（2）又已知点A为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，直线DA与曲线M的交点B不在y轴的右侧，且点B不在x轴上，并满足的最小值．

 

已知平面上两定点C(1,0),D（1，0）和一定直线，为该平面上一动点，作，垂足为Q，且

（1）问点在什么曲线上，并求出曲线的轨迹方程M；

（2）又已知点A为抛物线上一点，直线DA与曲线M的交点B不在轴的右侧，且点B不在轴上，并满足的最小值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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