题目内容
已知B为抛物线y2=2px(p>0)上的动点(除顶点),过B作抛物线准线的垂线,垂足计为C.连接CO并延长交抛物线于A,(O为原点)
(1)求证AB过定点Q.
(2)若M(1,
P |
分析:(1)设B点坐标为(
,yB),则C为(-
,yB),那么直线CO的方程为y=-
x,与抛物线联立,求解,得A点坐标为(
,-p2 ×yB ),故直线AB的方程为 2pyBx-(yB2-p2)y-p2•yB=0,由此能够求出直线AB过定点Q(
,0).
(2)由Q为抛物线焦点,知|BQ|=|BC|,根据三角形两边之和大于第三边,知B点坐标为(
,
)时,|BM|+|BQ|=|BC|+|BM|=|CM|最小,由此能求出其最小值.
yB2 |
2p |
p |
2 |
yB |
p |
p3 |
2yB2 |
p |
2 |
(2)由Q为抛物线焦点,知|BQ|=|BC|,根据三角形两边之和大于第三边,知B点坐标为(
1 |
2 |
p |
解答:解:(1)设B点坐标为(
,yB),则C为(-
,yB)
那么直线CO的方程为y=-
x,
与抛物线联立,求解,得A点坐标为(
,-p2 ×yB ),
故直线AB的方程为 2pyBx-(yB2-p2)y-p2•yB=0,
令x=
,则y=0,
故直线AB过定点Q(
,0).
(2)由(1)得,Q为抛物线焦点,
故|BQ|=|BC|,
根据三角形两边之和大于第三边,从而当yB=p
时,即B(
,
)时,
|BM|+|BQ|=|BC|+|BM|=|CM|最小,
最小值为
+1.
yB2 |
2p |
p |
2 |
那么直线CO的方程为y=-
yB |
p |
与抛物线联立,求解,得A点坐标为(
p3 |
2yB2 |
故直线AB的方程为 2pyBx-(yB2-p2)y-p2•yB=0,
令x=
p |
2 |
故直线AB过定点Q(
p |
2 |
(2)由(1)得,Q为抛物线焦点,
故|BQ|=|BC|,
根据三角形两边之和大于第三边,从而当yB=p
1 |
2 |
1 |
2 |
p |
|BM|+|BQ|=|BC|+|BM|=|CM|最小,
最小值为
p |
2 |
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.
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