Question

(本小题12分)
如图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为AB、BC的中点.
（Ⅰ）求证：平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（II）当点P为棱DD₁中点时，求直线MB₁与平面A₁C₁P所成角的正弦值；
            

Answer 1

（1）略
（2）

（法一）（I）正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，平面ABCD， 平面ABCD， ，连结AC， M、N分别为AB、BC
的中点， MN//AC，又四边形ABCD是正方形， ， 平面BB₁D₁D，
又平面B₁MN，
平面B₁MN平面BB₁D₁D                                           （6分）
（II）设正方体棱长为2，取CD中点H，连C₁H、MH，由于MH∥C₁B₁，MH=C₁B₁，所以四边形C₁HM B₁为平行四边形， M B₁∥C₁H，所以直线C₁H与平面A₁C₁P所成角θ即为直线MB₁与平面A₁C₁P所成角。设H到平面的距离为h，∵P为DD₁中点，所以A₁P=C₁P=,，，由得，h=，所以sinθ=；                    （ 12分）
（法二）
以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D₁(0,0,2)，A₁(2,0,2)，B₁(2,2,2)，C₁(0,2,2)，P(0,0,x)，M(2,1,0)，N(1,2,0)
（I） ，， ，∴，， ， ，，平面BB₁D₁D，又平面B₁MN， 平面B₁MN平面BB₁D₁D                  （6分）
（II）设为平面平面A₁C₁P的一个法向量，P为DD₁中点，P（0，0，1），，，则，也就是，，令，又,设MB₁与平面A₁C₁P所成角为θ，
则，                           （ 12分