Question

已知二次函数f(x)＝ax2＋x，若对任意x1、x2∈R，恒有2f≤f(x1)＋f(x2)成立，不等式f(x)＜0的解集为A.

(1)求集合A；

(2)设集合B＝{x||x＋4|＜a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．

 

Answer 1

（1）A＝（2）(0，－2＋]

【解析】(1)对任意x1、x2∈R，

由f(x1)＋f(x2)－2f＝ a(x1－x2)2≥0成立，

要使上式恒成立，所以a≥0.

由f(x)＝ax2＋x是二次函数知a≠0，故a＞0.

所以f(x)＝ax2＋x＝ax＜0.

解得A＝.

(2)B＝{x||x＋4|＜a}＝(－a－4，a－4)，

因为集合B是集合A的子集，

所以a－4≤0，且－a－4≥－.

解得－2－≤a≤－2＋.

又a＞0，∴a的取值范围为(0，－2＋]．