Question

已知n为奇数，且n≥3，那么7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7被9除所得的余数是（　　）

A．0

B．1

C．7

D．8

Answer 1

分析：7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7=（7+1）ⁿ-1=（9-1）ⁿ-1，又n为奇数，且n≥3，问题解决了．

解答：解：∵7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7=（7+1）ⁿ-1=（9-1）ⁿ-1=9ⁿ+

C

1 n

•9^n-1（-1）¹+

C

2 n

•9^n-2（-1）²+…+

C

n-1 n

•9•（-1）^n-1+

C

n n

9⁰•（-1）ⁿ-1，
又n为奇数，且n≥3，
∴倒数第二项

C

n n

9⁰•（-1）ⁿ=-1，最后一项也是-1，而从第一项到倒数第三项，每项都能被9整除，而n≥3时，（9-1）ⁿ为正数，
∴7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7被9除所得的余数是7．
故选C．

点评：本题考查二项式定理的应用，难点在于对“7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7=（9-1）ⁿ-1”的转化与应用，属于难题．