题目内容
已知f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),且y=f(x)的图象经过(1,n2),数列{an}为等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;
(2)当n为奇数时,设g(x)=
［f(x)-f(-x)］,是否存在自然数m和M,使不等式m＜g(
)＜M恒成立?若存在,求出M-m的最小值;若不存在,请说明理由.
解：(1)由题意,f(1)=n2,即a0+a1+a2+…+an=n2,令n=1,a0+a1=1,
∴a1=1-a0.令n=2,a0+a1+a2=4,
∴a2=4-(a0+a1)=3.
令n=3,a0+a1+a2+a3=9,
∴a3=9-(a0+a1+a2)=5.
∵{an}为等差数列.
∴公差d=a3-a2=2.
∴a1=3-2=1.
∴a0=0,an=2n-1(n∈N*).
(2)f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,
∵n为奇数,
∴f(-x)=-a1x+a2x2-a3x3+…+an-1xn-1-anxn,
g(x)=［f(x)-f(-x)］=a1x+a3x3+…+anxn.
g()=
+5(
)3+9(
)5+…+(2n-1)·(
)n,
∴
g(
)=(
)3+5(
)5+…+(2n-1)·(
)n+2.
两式相减整理得
g(
)=
-
(
)n-
n(
)n.
令Cn=
n·(
)n,
∵Cn+1-Cn=
(
)n(1-n)≤0(n∈N*),∴Cn+1≤Cn,Cn随n的增大而减小.
又
·(
)n随n的增大而减小,
∴g(
)为n的增函数.当n=1时,g(
)min=
,
而
-
(
)n-
n(
)n＜
,
∴
≤g(
)＜
.
∴使m＜g(
)＜M恒成立的自然数m的最大值为0,M的最小值为2.
∴M-m的最小值为2.
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