Question

已知数列{a_n}的前n项的和S_n=aⁿ-1（a是不为0的实数），那么{a_n}（　　）

A．一定是等差数列

B．一定是等比数列

C．或者是等差数列，或者是等比数列

D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

Answer 1

分析：由题意可知，当a=1时，S_n=0，判断数列是否是等差数列；当a≠1时，利用

an

an-1

=

an-an-1

an-1-an-2

=a，判断数列{a_n}是等差数列还是等比数列．

解答：解：①当a=1时，S_n=0，
且a₁=a-1=0，
a_n=S_n-S_n-1=（aⁿ-1）-（a^n-1-1）=0，（n＞1）
a_n-1=S_n-1-S_n-2=（a^n-1-1）-（a^n-2-1）=0，
∴a_n-a_n-1=0，
∴数列{a_n}是等差数列．
②当a≠1时，
a₁=a-1，
a_n=S_n-S_n-1=（aⁿ-1）-（a^n-1-1）=aⁿ-a^n-1，（n＞1）
a_n-1=S_n-1-S_n-2=（a^n-1-1）-（a^n-2-1）=a^n-1-a^n-2，（n＞2）

an

an-1

=

an-an-1

an-1-an-2

=a，（n＞2）
∴数列{a_n}是等比数列．
综上所述，数列{a_n}或是等差数列或是等比数列．
故选C．

点评：本题考查数列的概念，等差数列与等比数列的判定，解题时要注意a=0的情况，避免丢解以及n的范围满足数列的定义．