Question

用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2ⁿ·1·3·…·(2n-1),其中n∈N^*.

Answer 1

思路分析:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,关键是第二步,要注意当n=k+1时,等式两边的式子与n=k时等式两边的式子的联系,增加了哪些项或减少了哪些项,问题就容易解决了.

证明:(1)当n=1时,左边1+1=2,右边=2¹·1=2,等式成立.

(2)假设当n=k时,等式成立,即(k+1)(k+2)…(k+k)=2^k·1·3·…·(2k-1).

则当n=k+1时,

(k+2)…(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)

=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1)

=2^k·1·3…(2k-1)·2(2k+1)

=2^k+1·1·3…(2k-1)(2k+1).

即当n=k+1时,等式也成立.

由(1)(2)可知对一切n∈N^*,等式成立.

    误区警示 当n=k+1时,等式的左边容易错写成(k+1)(k+2)…(k+k)(k+k+1).这时我们要注意式子(n+1)(n+2)…(n+n)的结构特征以及该式与n之间的关系.