题目内容
用数学归纳法证明：（cosα+isinα）n=cosnα+isinnα，（其中i为虚数单位）
分析：利用数学归纳法即可证明．
解答：解：（1）当n=1时，左边=cosα+isinα=右边，此时等式成立；
（2）假设当n=k时，等式成立，即（cosα+isinα）k=coskα+isinkα．
则当n=k+1时，左边=（cosα+isinα）k+1=（cosα+isinα）k（cosα+sinα）
=（coskα+isinkα）（cosα+isinα）=coskαcosα-sinkαsinα+（coskαsinα+sinkαcosα）i
=cos[（k+1）α]+isin[（k+1）α]=右边，
∴当n=k+1时，等式成立．
综上可知：等式对于?n∈N*都成立．
（2）假设当n=k时，等式成立，即（cosα+isinα）k=coskα+isinkα．
则当n=k+1时，左边=（cosα+isinα）k+1=（cosα+isinα）k（cosα+sinα）
=（coskα+isinkα）（cosα+isinα）=coskαcosα-sinkαsinα+（coskαsinα+sinkαcosα）i
=cos[（k+1）α]+isin[（k+1）α]=右边，
∴当n=k+1时，等式成立．
综上可知：等式对于?n∈N*都成立．
点评：本题考查了数学归纳法和三角函数的两角和差的正弦余弦公式，属于中档题．
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