Question

用数学归纳法证明贝努利（Bernoulli）不等式：如果x是实数，且x＞-1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有（1+x）ⁿ＞1+nx．

Answer 1

分析：先证明n=2时结论成立，再假设n=k（k≥2）时，不等式成立，利用假设证明当n=k+1时，不等式成立即可．

解答：证明：（1）当n=2时，∵x≠0，∴（1+x）²=1+2x+x²＞1+2x，不等式成立；
（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即（1+x）^k＞1+kx
当n=k+1时，（1+x）^k+1＞（1+x）（1+kx）=1+x+kx+kx²＞1+（k+1）x
∴当n=k+1时，不等式成立
由（1）（2）可知，不等式成立．

点评：本题考查数学归纳法，考查不等式的证明，正确运用数学归纳法的证题步骤是关键．