题目内容

已知y=f(x)是定义在R上的函数,对于任意的x∈R,f(-x)+f(x)=0,且当x≥0 时,f(x)=2x-x2
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)画出函数y=f(x)的图象,并指出f(x)的单调区间及在每个区间上的增减性;
(3)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,试确定a的取值范围.
分析:(1)根据当x≥0 时,f(x)=2x-x2.利用函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,可求x<0时的解析式,从而可得y=f(x)的解析式;
(2)根据函数的解析式,分段作出函数的图象,从而可得f(x)的单调区间
(3)利用函数的单调增区间,结合函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,可建立不等式组,从而可确定a的取值范围.
解答:解:(1)当x<0时,-x>0,
∵当x≥0 时,f(x)=2x-x2
∴f(-x)=-2x-x2
又对于任意的x∈R,有f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-2x-x2
∴x<0时,f(x)=2x+x2;----(2分)
∴f(x)的解析式为f(x)=
2x-x2(x≥0)
2x+x2(x<0)
------(4分)
(2)f(x)的图象如右图:
f(x)在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数,f(x)在[-1,1]上是增函数---(8分)
(3)由图象可知,f(x)在[-1,1]上单调递增,
要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,只需
a-2>-1
a-2≤1

∴1<a≤3----(12分)
点评:本题重点考查函数的解析式,考查函数的单调性,考查函数单调性的运用,考查数形结合的数学思想,属于中档题
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