已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左焦点为F.直线DF的斜率为$\sqrt{3}$．(Ⅰ)求椭圆C的离心率,(Ⅱ)设过点F的直线交椭圆于A.B两点.过点P作与直线AB的倾斜角互补的直线l.交椭圆C于M.N两点.问:$\frac{|FA|•|FB|}{|PM|•|PN|}$是否为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

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2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-c，0），点D（0，b），直线DF的斜率为$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设过点F的直线交椭圆于A，B两点，过点P（-4c，0）作与直线AB的倾斜角互补的直线l，交椭圆C于M，N两点，问：$\frac{|FA|•|FB|}{|PM|•|PN|}$是否为定值，若是，求出此定值，若不是，说明理由．

分析（Ⅰ）运用直线的斜率公式和离心率公式，结合a，b，c的关系，即可得到；
（Ⅱ）设直线AB：x=ty-c，直线MN：x=-ty-4c，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），将直线方程分别代入椭圆方程，运用韦达定理，再由两点的距离公式，化简整理，即可得到定值．

解答解：（Ⅰ）由题意可得，k_DF=$\frac{b}{c}$=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2c，
则椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）设直线AB：x=ty-c，直线MN：x=-ty-4c，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
将直线x=ty-c代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，可得
（3t²+4）y²-6tcy-9c²=0，
则y₁y₂=-$\frac{9{c}^{2}}{3{t}^{2}+4}$，
再将直线x=-ty-4c代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，可得
（3t²+4）y²+24tcy+36c²=0，
则y₃y₄=$\frac{36{c}^{2}}{3{c}^{2}+4}$，
即有$\frac{|FA|•|FB|}{|PM|•|PN|}$=$\frac{\sqrt{1+{t}^{2}}|{y}_{1}|•\sqrt{1+{t}^{2}}|{y}_{2}|}{\sqrt{1+（-t）^{2}}|{y}_{3}|•\sqrt{1+（-t）^{2}}|{y}_{4}|}$
=$\frac{|{y}_{1}{y}_{2}|}{|{y}_{3}{y}_{4}|}$=$\frac{\frac{9{c}^{2}}{3{t}^{2}+4}}{\frac{36{c}^{2}}{3{t}^{2}+4}}$=$\frac{1}{4}$．
故$\frac{|FA|•|FB|}{|PM|•|PN|}$为定值$\frac{1}{4}$．

点评本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，同时考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及两点的距离公式的运用，正确设出直线方程是解题的关键．

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