Question

证明在复数范围内，方程|z|2+(1-i)

.

z

-(1+i)z=

5-5i

2+i

（i为虚数单位）无解．

Answer 1

分析：复系数方程是否有实根，可根据方程根的定义以及复数相等的充要条件，将复数问题转化为实数问题．此题需要设出复数的代数形式，然后根据复数相等的充要条件建立实数方程组，最后求解方程组看其是否有解．

解答：证明：设这个方程有复数根为z=x+yi（x，y∈R），
则应有x2+y2+(1-i)(x-yi)-(1+i)(x+yi)=

5(1-i)(2-i)

22+12

化简得x²+y²-2（x+y）i=1-3i
根据复数相等得

x2+y2=1(1) x+y= 3 2 (2)

由式（2）得y=

3

2

-x
将其代入式（1）得，2x2-3x+

5

4

=0(3)
∵△=(-3)2-4×2×

5

4

=9-10=-1＜0，
∴式（3）无实根，即x不是实数与假设矛盾
所以方程|z|2+(1-i)

.

z

-(1+i)z=

5-5i

2+i

没有复数根．

点评：复数相等的充要条件（它们的实部和虚部分别相等）是把复数问题转化成实数问题的主要途径，依据它可求复数的值、在复数集中解方程等．