Question

在△ABC中，已知A（-4，0），B（4，0），且sinA-sinB=

1

2

sinC，则C的轨迹方程是（　　）

• A．

  x2

  4

  +

  y2

  12

  =1
• B．

  x2

  4

  -

  y2

  12

  =1(x＜-2)
• C．

  x2

  12

  -

  y2

  4

  =1
• D．

  x2

  12

  -

  y2

  4

  =1(y≠1)

Answer 1

分析：根据正弦定理，将sinA-sinB=

1

2

sinC化为a-b=

1

2

c，，判断出点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的左支，根据数据求出其方程即可．

解答：解：∵sinA-sinB=

1

2

sinC，由正弦定理得a-b=

1

2

c，即|CB|-|CA|=4＜8=|AB|，由双曲线的定义可知
∴点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的左支，且a=2，c=4，∴b²=c²-a²=12．
∴顶点C的轨迹方程为 

x2

4

-

y2

12

=1(x＜-2)．
故选B

点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，判断点C的轨迹是以B、A为焦点的双曲线一支，是解题的关键．易错点是误判为整个双曲线．