Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*总有2Sn＝an2+n，且an＜an+1.若对任意n∈N*，θ∈R，不等式λ（n+2）恒成立，求实数λ的最小值( )

A.1B.2C.1D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

由得数列的递推关系，确定数列是等差数列，从而得其通项公式，不等式化为λ，不等式右边分子平方展开后应用基本不等式可求得其最大值，从而得的最小值．

由2Sn＝an2+n，①

可知，当n≥2时，2Sn﹣1＝an﹣12+(n﹣1)，②

①﹣②，得2an＝an2﹣an﹣12+1，

故(an﹣1)2＝an﹣12，

于是an﹣1＝an﹣1或an﹣1＝﹣an﹣1，

若an﹣1＝﹣an﹣1，则an+an﹣1＝1，不合题意；

于是an﹣1＝an﹣1，即an﹣an﹣1＝1，

即数列{an}是公差为1的等差数列，又a1＝1，

∴an＝1+(n﹣1)×1＝n.

故an＝n.

依题意知n∈N*，λ 都成立，

然后通过基本不等式得，

2，

当且仅当，即时，取“＝”，

所以 的最大值为2，

所以λ≥2，

所以λ的最小值为2，

故选：B.