Question

19．已知x₁=3-2i是实系数一元二次方程x²+px+q=0的一个根．
（1）求方程的另一个根及p、q的值；
（2）求x₁²+x₂²的值；
（3）求$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的值；
（4）求x₁³+x₂³的值．

Answer 1

分析 （1）根据实系数方程复数根必为共轭根，即可求方程的另一个根及p、q的值；
（2）利用平方关系即可求x₁²+x₂²的值；
（3）根据分式通分即可$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的值；
（4）利用立方公式即可求x₁³+x₂³的值．

解答 解：（1）∵x₁=3-2i是实系数一元二次方程x²+px+q=0的一个根，
∴x₂=3+2i也是实系数一元二次方程x²+px+q=0的一个根，
则x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，
即6=-p，9+4=13=q，
即p=-6，q=13．
（2）∵x₁+x₂=6，x₁x₂=13，
则x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-x₁x₂=36-13=23；
（3）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{6}{13}$；
（4）x₁³+x₂³=（x₁+x₂）（x₁²-x₁x₂+x₂²）=6×（23-13）=6×10=60．

点评 本题主要考查一元二次方程复数根的求解，利用根与系数之间的关系进行转化是解决本题的关键．