Question

已知函数f（x）=|x²-2ax+b|（x∈R），则

1. A.
   f（x）必是偶函数
2. B.
   当f（0）=f（2）时，f（x）的图象必须关于x=1直线对称
3. C.
   f（x）有最大值a²-b
4. D.
   若a²-b≤0，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数

Answer 1

D
分析：举反例a=b=1可排除A；
a=b=2，可排除B；
举反例a=1，b=3可排除C
a²-b≤0时，函数y=x²-2ax+b与x轴没有交点，f（x）=|x²-2ax+b|=x²-2ax+b在区间[a，+∞）上单调递增，可知选项D正确．
解答：A 当a=b=1，f（x）=|x²-2x+1|不是偶函数，故排除A．
B 当a=2，b=2时，有f（x）=|x²-4x+2|，f（0）=f（2），但此函数关于x=1不对称．
C 当a=1，b=3 f（x）=|x²-2x+3|函数没有最大值．
D a²-b≤0时，函数y=x²-2ax+b与x轴没有交点，f（x）=|x²-2ax+b|=x²-2ax+b 在区间[a，+∞）上单调递增．
故选D
点评：本题主要考查了分段函数的性质：函数的奇偶性，函数的最值的求解，函数的对称性，函数的单调性，二次函数性质的应用．是一道综合性比较好的试题．