Question

已知(x

3

2

+x-

1

3

)n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x⁵的系数是

 

．（以数字作答）

Answer 1

分析：通过对二项式中的x赋值1求出展开式的各项系数和，列方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为5，求出展开式中x⁵的系数．

解答：解：∵(x

3

2

+x-

1

3

)n的展开式中各项系数和为128，
∴令x=1，即得所有项系数和为2ⁿ=128．
∴n=7．
设该二项展开式中的第r+1项为T_r+1=C₇r(x

3

2

)7-r•(x-

1

3

)r=C₇^r•x

63-11r

6

，
令

63-11r

6

=5即r=3时，
∴x⁵项的系数为C₇³=35．
故答案为35

点评：本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法，考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．