Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

）的部分图象
如图所示，其中与x轴有交点 （-2，0）、（6，0），图象有一个最高点（2，

2

）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，若f（x）在x∈[4，12]上的最大值为c且C=60°，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解析式．
（2）在△ABC中，由正弦函数的定义域和值域求得△ABC的面积的最大值为

3

4

ab．利用基本不等式可得ab 的最大值为1，从而求得，△ABC的面积的最大值．

解答：（1）解：由函数的图象可得A=

2

，ω=

2π

T

=

2π

16

=

π

8

，∴f（x）=

2

sin（

π

8

x+?）．
∵函数图象有一个最高点（2，

2

），
∴

π

8

×2+?=

π

2

，∴?=

π

4

，∴f（x）=

2

sin（

π

8

x+

π

4

）．
（2）在△ABC中，f（x）=

2

sin（

π

8

x+

π

4

），且 x∈[4，12]，∴

3π

4

≤

π

8

x+

π

4

≤

7π

4

，
故f（x）在x∈[4，12]上的最大值为c=1，
∴△ABC的面积S_△ABC的最大值为

1

2

ab•sinC=

3

4

ab．
由余弦定理求得 cosC=

a2+b2-c2

2ab

=cos60°=

1

2

  可得 ab=a²+b²-1，
利用基本不等式可得ab=a²+b²-1≥2ab-1，∴ab≤1，
∴△ABC的面积S_△ABC的最大值为

3

4

ab≤

3

4

．
故当且仅当 a=b=1时，△ABC的面积的最大值为

3

4

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．