Question

设函数f（x）=x³+mx²+nx+p在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f（x）=0有三个实根x₁，2，x₂．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）试比较f（1）与2的大小，并说明理由；
（Ⅲ）求|x₁-x₂|的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据f（x）在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数可知x=0时函数取到极大值即在导函数中自变量取零时函数值也取零得到n的值即可；
（Ⅱ）首先将f（1）化成关于m的式子，求出导函数的驻点根据增减性确定m的范围，便可得到f（1）=-7-3m≥2；
（Ⅲ）由条件可得：f（x）=（x-x₁）（x-2）（x-x₂）=x³+mx²+p，
得到

-(2+x1+x2)=m -2x1x2=p

，进而得到|x₁-x₂|=

(m-2)2-16

（m≤-3），所以|x₁-x₂|≥3．．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2mx+n．
∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数
∴当x=0时，f（x）取到极大值．
∴f′（0）=0．
∴n=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=x³+mx²+p
∵f（2）=0
∴p=-4（m+2）
f′（x）=3x²+2mx=0的两个根分别为x₁=0，x₂=-

2m

3

∵函数f（x）在[0，2]上是减函数，
∴x₂=-

2m

3

≥2
∴m≤-3．
∴f（1）=m+p+1=m-4（m+2）+1=-7-3m≥2．
（Ⅲ）由条件可得：f（x）=（x-x₁）（x-2）（x-x₂）                    
∴f（x）=x³-（2+x₁+x₂）x²+（2x₁+2x₂+x₁x₂）x-2x₁x₂．                       
∴

-(2+x1+x2)=m -2x1x2=p

，即

x1+x2=-m-2 x1x2=- 1 2 p=2m+4

，
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2-4m-12

=

(m-2)2-16

（m≤-3），
∴|x₁-x₂|≥3．

点评：此题学生往往错误地认为x=2是另一个极值点．考查学生利用导数研究函数的单调性的能力．