Question

点P在直径为5的球面上，过P作两两垂直的3条弦，设长度分别为a、b、c．若这三条弦总长为6，以点P为顶点，这三条弦为侧棱的三棱锥的体积为，则=

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由点P在直径为5的球面上，过P作两两垂直的3条弦，推出这三条弦为侧棱的三棱锥是长方体的一个角的三棱锥，A-BCD，如图，三棱锥扩展为长方体，它们的外接球是一个，通过已知的数据关系，列出方程组，求出a，b，c即可确定的值．
解答：由题意可知：三条弦为侧棱的三棱锥是长方体的一个角的三棱锥，如图三棱锥A-BCD，扩展为长方体，它们的外接球是一个，长方体的体对角线就是外接球的直径，因为点P在直径为5的球面上，过P作两两垂直的3条弦，
设长度分别为a、b、c．若这三条弦总长为6，以点P为顶点，这三条弦为侧棱的三棱锥的体积为，
所以，即
①²-②2ab+2bc+2ac=11…④，
由得，所以=．
故选D．
点评：本题考查几何体的外接球的理解，能够把三棱锥扩展为长方体，外接球相同是解题的关键，考查计算能力整体思想的应用．