Question

点P在直径为2的球面上，过P两两垂直的3条弦，若其中一条弦长是另一条的2倍，则这3条弦长之和的最大值是

 

．

Answer 1

分析：设三条弦长分别为x，2x，y，求出长方体的对角线的长，用椭圆的参数方程表示x，y，推出3条弦长之和的表达式，通过三角函数的化简辅助角公式，求出最大值．

解答：解：设三条弦长分别为x，2x，y，则：x²+（2x）²+y²=4，即：5x²+y²=4，设

5

2

x=sinθ，  

1

2

y=cosθ，则这3条弦长之和=3x+y=

6

5

sinθ +2cosθ=

2 70

5

sin（θ+φ），其中tanφ=

5

3

，所以它的最大值为：

2 70

5

故答案为：

2 70

5

点评：本题是中档题，考查球的内接多面体的就是问题，三角函数的化简与求值，是综合题目，考查计算能力，空间想象能力．