Question

若斜率为2的动直线l与抛物线x²=4y相交于不同的两点A、B，O为坐标原点．
（1）求线段AB中点P的轨迹方程；
（2）若

OA

•

OB

≤60，求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先把直线l的方程与抛物线的方程联立，求出点A、B之间的等量关系，再利用中点坐标公式即可求线段AB中点P的轨迹方程；（注意范围的限制）
（2）先利用（1）中求出的点A、B之间的等量关系，直接代入

OA

•

OB

≤60，即可求直线l在y轴上截距的取值范围．（注意范围的限制）

解答：解：（1）设l的方程为y=2x+b，l与C的交点坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
点P（x，y），由

x2=4y y=2x+b

?x2-8x-4b=0，（2分）
得

△=(-8)2+4×4b＞0 x1+x2=8 x1x2=-4b

，依题意，

b＞-4 x= x1+x2 2 =4 y=2× x1+x2 2 +b=b+8＞4

（4分）
故所求的轨迹方程为x=4（y＞4）．（7分）
（2）由（1）知x1x2=-4b，y1y2=

x 2 1 x 2 2

16

=b2，（2分）
由

OA

•

OB

≤60得x₁x₂+y₁y₂=-4b+b²≤60（4分）
解得-6≤b≤10（6分）注意到b＞-4，
∴-4＜b≤10．（7分）

点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，向量的应用以及轨迹方程的求法，是对知识的综合考查，属于中档题目．在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般常把直线与圆锥曲线方程联立，易错点在于忘记限制对应判别式．