Question

若斜率为2的动直线l与抛物线x²=4y相交于不同的两点A、B，O为坐标原点．
（1）若线段AB上的点P满足

AP

=

PB

，求动点P的轨迹方程；
（2）对于（1）中的点P，若点O关于点P的对称点为Q，且|

OQ

|≤4

85

，求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设l的方程为y=2x+b，l与C的交点坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），点P（x，y），由

x2=4y y=2x+b

?x2-8x-4b=0，得

△=(-8)2+4×4b＞0 x1+x2=8 x1x2=-4b

，由此能得到所求的轨迹方程．
（2）由x₁+x₂=8，y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2b=16+2b，知|

OQ

|2=|

OA

+

OB

|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2=64+(16+2b)2≤16×85，由此能够求出直线l在y轴上截距的取值范围．

解答：解：（1）设l的方程为y=2x+b，l与C的交点坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
点P（x，y），由

x2=4y y=2x+b

?x2-8x-4b=0，
得

△=(-8)2+4×4b＞0 x1+x2=8 x1x2=-4b

，依题意，

b＞-4 x= x1+x2 2 =4 y=2× x1+x2 2 +b=b+8＞4

故所求的轨迹方程为x=4（y＞4）．
（2）（理）由（1）知x₁+x₂=8，y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2b=16+2b，
由|

OQ

|2=|

OA

+

OB

|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2=64+(16+2b)2≤16×85，
解得-26≤b≤10，注意到b＞-4，
∴-4＜b≤10

点评：本题考查动点P的轨迹方程和直线l在y轴上截距的取值范围．解题时要认真审题，合理地运用圆锥曲线的性质，注意灵活地进行等价转化．