题目内容
将一张2×6米的硬钢板按图纸的要求进行操作,沿线裁去阴影部分,把剩余部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱(其中①与③、②与④分别是全等的矩形,且⑤+⑥=⑦),设水箱的高为x米,容积为y立方米.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)如何设计x的大小,使得水箱装的水最多?
解:(1)设水箱的高为x(米),则水箱底面长宽分别为

(米),2-2x(米)
故水箱的容积为y=2x(3-x)(1-x)=2x
3-8x
2+6x(0<x<1)
(2)由y'=6x
2-16x+6=0,得:

所以:y=2x
3-8x
2+6x(0<x<1)在

上单调递增,在

上单调递减
所以

时水箱的容积最大.
分析:(1)根据①与③、②与④分别是全等的矩形,且⑤+⑥=⑦),可得水箱底面长宽,从而可表示水箱的容积,即y关于x的函数关系式;
(2)利用导数求最值,由于函数的单峰函数,故在导数为0处取极值,且为最值.
点评:本题以实际问题为载体,考查函数模型的构建,考查导数法求函数的最值,有一定的综合性.
练习册系列答案
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(本小题满分12分)将一张2×6米的硬钢板按图纸的要求进行操作:沿线裁去阴影部分,把剩余的部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱(⑦为底,①②③④为侧面,⑤+⑥为水箱盖,其中①与③、②与④分别是全等的矩形,且⑤+⑥=⑦),设水箱的高为x米,容积为y立方米。
(1)写出y关于x的函数关系式;
(2)如何设计x的大小,使得水箱的容积最大?
(理)如图,沿河边AB建一水站P供甲、乙两个学校共同使用,已知学校甲离河边1千米,乙学校离河边2千米,而甲、乙两校相距
千米,如果两校决定用同一种造价的水管送水.
(1)设PA=x(x>0),试将x表示成送水需要的水管总长y的函数;
(2)问水站P建在什么位置,购买水管的费用最低?
(文)将一张2×6米的硬钢板按图纸的要求进行操作,沿线裁去阴影部分,把剩余部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱(其中①与③、②与④分别是全等的矩形,且⑤+⑥=⑦),设水箱的高为x米,容积为y立方米.

(1)求y关于x的函数关系式;
(2)如何设计x的大小,使得水箱装的水最多?