Question

16．数列{a_n}满足a₁=8，a₄=2，且a_n+2+a_n=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{2}{n（12-{a}_{n}）}$，求{b_n}的前n项和{T_n}．

Answer 1

分析 （1）由已知得数列{a_n}是等差数列，由此结合已知条件能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=$\frac{2}{n（12-{a}_{n}）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用裂项求和法能求出{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵a_n+2+a_n=2a_n+1（n∈N^*），
∴数列{a_n}是等差数列，
∵a₁=8，a₄=2，∴2=8+3d，解得d=-2，
∴a_n=8+（n-1）×（-2）=-2n+10．
（2）b_n=$\frac{2}{n（12-{a}_{n}）}$=$\frac{2}{n（12+2n-10）}$=$\frac{2}{n（2n+2）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴{b_n}的前n项和：
T_n=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和裂项求和法的合理运用．