Question

若f（n）为n²+1（n∈N^*）的各位数字之和，如14²+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17，记f₁（n）=f（n），f₂（n）=f〔f₁（n）〕，…，f_k+1（n）=f〔f_k（n）〕，k∈N^*，则f₂₀₁₂（8）=

5

．

Answer 1

分析：通过计算f₁（8）、f₂（8）和f₃（8），得到f_n+2（8）=f_n（8）对任意n∈N^*成立，由此可得f₂₀₁₂（8）=f₂（8）=5，得到本题答案．

解答：解：根据题意，可得
∵8²+1=64+1=65，∴f₁（8）=6+5=11
又∵11²+1=122，f₂（8）=f（f₁（8））
∴f₂（8）=f（11）=1+2+2=5
∵5²+1=26，f₃（8）=f（f₂（8））
∴f₃（8）=f（5）=2+6=8=f₁（8）
因此，可得f_n+2（8）=f_n（8）对任意n∈N^*成立，
∴f₂₀₁₂（8）=f_2+1005×2（8）=f₂（8）=5
故答案为：5

点评：本题给出“f（n）为n²+1（n∈N^*）的各位数字之和”的模型，求f₂₀₁₂（8）的值，着重考查了函数的对应法则、数列的周期和进行简单的合情推理等知识，属于基础题．