Question

2．如图，酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，其容积为80cm³，水以20cm³/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，水杯中水升高的瞬时变化率$\frac{8}{3}$cm/s．

Answer 1

分析 作出如图的图象，建立起水面高h与时间t的函数关系，利用导数求出水面升高时的瞬时变化率即得到正确答答案，r²=$\frac{15{h}^{2}}{32π}$，20t=$\frac{5{h}^{3}}{32}$，h=$\root{3}{128t}$，t=$\frac{{h}^{3}}{128}$，
h^′=$\frac{1}{3}$×$128×（128t）^{-\frac{2}{3}}$，又当h=4时，有t=$\frac{1}{2}$，求解h′=$\frac{1}{3}×128×$（128×$\frac{1}{2}$）${\;}^{-\frac{2}{3}}$=$\frac{8}{3}$．

解答 解：设上底面面积为s，h=8，V=80，
所以80=$\frac{1}{3}×s$×8，
即s=30，r_上底²=$\frac{30}{π}$
由题意，如图，设t时刻水面高为h，水面圆半径是r，
由图知：$\frac{{r}^{2}}{\frac{30}{π}}$=$（\frac{h}{8}）^{2}$，r²=$\frac{15{h}^{2}}{32π}$，
此时水的体积为$\frac{1}{3}$×π×r²×h=$\frac{5{h}^{3}}{32}$，
又由题设条件知，此时的水量为20t
故有20t=$\frac{5{h}^{3}}{32}$，h=$\root{3}{128t}$，t=$\frac{{h}^{3}}{128}$，
h^′=$\frac{1}{3}$×$128×（128t）^{-\frac{2}{3}}$，
又当h=4时，有t=$\frac{1}{2}$，
h′=$\frac{1}{3}×128×$（128×$\frac{1}{2}$）${\;}^{-\frac{2}{3}}$=$\frac{8}{3}$，
根据导数的概念对称水杯中水升高的瞬时变化率$\frac{8}{3}$，
故答案为：$\frac{8}{3}$

点评 本题考查变化的快慢与变化率，正确解答本题关键是得出高度关于时间的函数关系，然后利用导数求出高度为4时刻的导数值，即得出此时的变化率，本题是一个应用题求解此类题，正确理解题意很关键．由于所得的解析式复杂，解题时运算量较大，要认真解题避免因为运算出错导致解题失败