Question

设函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅲ）当a＞3时，证明存在k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f（2）和f′（2），利用点斜式写切线方程．
（Ⅱ）求导，令f′（x）=0，再考虑f（x）的单调性，求极值即可．
（Ⅲ）有（Ⅱ）可知当a＞3时f（x）为单调函数，利用单调性直接转化为k-cosx≤k²-cos²x恒成立，分离参数求解即可．

解答：解：（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，得f（2）=-2，且f'（x）=-3x²+4x-1，f'（2）=-5．
所以，曲线y=-x（x-1）²在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），整理得5x+y-8=0．

（Ⅱ）解：f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²xf'（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）．
令f'（x）=0，解得x=

a

3

或x=a．
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
（1）若a＞0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

因此，函数f（x）在x=

a

3

处取得极小值f(

a

3

)，且f(

a

3

)=-

4

27

a3；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．
（2）若a＜0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；
函数f（x）在x=

a

3

处取得极大值f(

a

3

)，且f(

a

3

)=-

4

27

a3．

（Ⅲ）证明：由a＞3，得

a

3

＞1，当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k²-cos²x≤1．
由（Ⅱ）知，f（x）在（-∞，1]上是减函数，要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），x∈R
只要k-cosx≤k²-cos²x（x∈R）
即cos²x-cosx≤k²-k（x∈R）①
设g(x)=cos2x-cosx=(cosx-

1

2

)2-

1

4

，则函数g（x）在R上的最大值为2．
要使①式恒成立，必须k²-k≥2，即k≥2或k≤-1．
所以，在区间[-1，0]上存在k=-1，使得f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立．

点评：本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．