Question

对任意实数k，圆C：（x-3）²+（y-4）²=13与直线l：kx-y-4k+3=0的位置关系是（　　）

A．相交

B．相切

C．相离

D．与k取值有关

Answer 1

分析：解法1：根据直线l的方程的特点，得出直线l恒过定点M（4，3），利用两点间的距离公式求出M到圆心C的距离，由|MC|小于圆的半径r，得到M在圆C内，进而得到直线l过圆C内一点，故直线l与圆C相交；
解法2：由圆的方程得出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离d，把d平方后利用基本不等式求出d的最大值，判断d的最大值与半径r的大小，即可得到直线l与圆C的位置关系．

解答：解法1：由圆C：（x-3）²+（y-4）²=13，得到圆心C坐标为（3，4），半径r=

13

，
∵直线kx-y-4k+3=0恒过M（4，3），且|MC|=

(3-4)2+(4-3)2

=

2

＜

13

=r，
∴M在圆C内，
则直线l与圆C的位置关系是相交．
解法2：由圆C：（x-3）²+（y-4）²=13，得到圆心C坐标为（3，4），半径r=

13

，
则圆心C到直线kx-y-4k+3=0的距离d=

|k+1|

k2+1

，
∵d²=

(k+1)2

k2+1

=1+

2k

k2+1

≤2，即d≤

2

＜

13

=r，
∴直线l与圆C的位置关系是相交．
故选A

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，点与圆的位置关系，以及恒过定点的直线方程，直线与圆的位置关系利用用d与r的大小来判断，当0≤d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离．其中解法1找出直线l恒过定点（4，3）是解本题的关键．