题目内容

在各项均为正数的数列{an}中,前n项和Sn满足2Sn+1=an(2an+1),n∈N*.

(I)证明{an}是等差数列,并求这个数列的通项公式及前n项和的公式;

(II)在XOY平面上,设点列Mn(xn,yn)满足an=nxn,Sn=n2yn,且点列Mn在直线C上,Mn中最高点为Mk,若称直线C与x轴、直线x=a、x=b所围成的图形的面积为直线C在区间[a,b]上的面积,试求直线C在区间[x3,xk]上的面积;

(III)是否存在圆心在直线C上的圆,使得点列Mn中任何一个点都在该圆内部?若存在,求出符合题目条件的半径最小的圆;若不存在,请说明理由.

答案:
解析:

  (1)由已知得

  故

  ②-①得

  结合,得

  是等差数列……2分

  又时,,解得

  ……3分

  又,故……4分

  ……5分

  (II)

  

  即得点

  设,消去n,得

  即直线C的方程为……7分

  又是n的减函数

  ∴M1为Mn中的最高点,且M1(1,1)

  又M3的坐标为()

  ∴C与x轴、直线围成的图形为直角梯形

  从而直线C在[,1]上的面积为……10分

  (III)由于直线C:上的点列Mn依次为

  M1(1,1),M2(),M3(),……,Mn(),……

  而

  因此,点列Mn沿直线C无限接近于极限点M()……12分

  又

  M1M的中点为()

  ∴满足条件的圆存在

  事实上,圆心为(),半径的圆,就能使得Mn中任何一个点都在该圆的内部,其中半径最小的圆为……14分


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