题目内容
在各项均为正数的数列{an}中,前n项和Sn满足2Sn+1=an(2an+1),n∈N*.
(I)证明{an}是等差数列,并求这个数列的通项公式及前n项和的公式;
(II)在XOY平面上,设点列Mn(xn,yn)满足an=nxn,Sn=n2yn,且点列Mn在直线C上,Mn中最高点为Mk,若称直线C与x轴、直线x=a、x=b所围成的图形的面积为直线C在区间[a,b]上的面积,试求直线C在区间[x3,xk]上的面积;
(III)是否存在圆心在直线C上的圆,使得点列Mn中任何一个点都在该圆内部?若存在,求出符合题目条件的半径最小的圆;若不存在,请说明理由.
答案:
解析:
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(1)由已知得① 故② ②-①得 结合,得 是等差数列……2分 又时,,解得或 ……3分 又,故……4分 ……5分 (II)
即得点 设,消去n,得 即直线C的方程为……7分 又是n的减函数 ∴M1为Mn中的最高点,且M1(1,1) 又M3的坐标为(,) ∴C与x轴、直线围成的图形为直角梯形 从而直线C在[,1]上的面积为……10分 (III)由于直线C:上的点列Mn依次为 M1(1,1),M2(,),M3(,),……,Mn(),…… 而 因此,点列Mn沿直线C无限接近于极限点M(,)……12分 又 M1M的中点为(,) ∴满足条件的圆存在 事实上,圆心为(,),半径的圆,就能使得Mn中任何一个点都在该圆的内部,其中半径最小的圆为……14分 |
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