题目内容

(2006•朝阳区一模)在各项均为正数的数列{an}中,前n项和Sn满足2Sn+1=an(2an+1),n∈N*
(Ⅰ)证明{an}是等差数列,并求这个数列的通项公式及前n项和的公式;
(Ⅱ)在XOY平面上,设点列Mn(xn,yn)满足an=nxn,Sn=n2yn,且点列Mn在直线C上,Mn中最高点为Mk,若称直线C与x轴、直线x=a、x=b所围成的图形的面积为直线C在区间[a,b]上的面积,试求直线C在区间[x3,xk]上的面积;
(Ⅲ)是否存在圆心在直线C上的圆,使得点列Mn中任何一个点都在该圆内部?若存在,求出符合题目条件的半径最小的圆;若不存在,请说明理由.
分析:(Ⅰ)由2Sn=2
a
2
n
+an-1
①,得2Sn+1=2
a
2
n+1
+an+1-1
②,两式相减可得递推式,化简后由等差数列的定义可作出判断,根据等差数列通项公式及前n项和公式可得通项及前n项和;
(Ⅱ)由an=nxnSn=n2yn可得xn,yn,从而得点Mn,消掉参数n后可得直线C的方程,根据yn的单调性可求其最大值,从而得到最高点Mk,从而可得区间[x3,xk],易判断图形形状,由面积公式可求;
(Ⅲ)先列出直线C:3x-2y-1=0上的点列MnM1(1,1),M2
3
4
5
8
),M3
2
3
1
2
),…,Mn
1
2
+
1
2n
,  
1
4
+
3
4n
),…而
lim
n→∞
(
1
2
+
1
2n
)=
1
2
,  
lim
n→∞
(
1
4
+
3
4n
)=
1
4

可知点列Mn沿直线C无限接近于极限点M(
1
2
1
4
),则以M1M为直径的圆为满足条件的最小圆;
解答:(Ⅰ)证明:由已知得2Sn=2
a
2
n
+an-1
①,
2Sn+1=2
a
2
n+1
+an+1-1
②,
②-①得2an+1=2
a
2
n+1
-2
a
2
n
+an+1-an

结合an>0,得an+1-an=
1
2

∴{an}是等差数列,
又n=1时,2a1=2
a
2
1
+a1-1
,解得a1=1或a1=-
1
2
,∵an>0,∴a1=1,
d=
1
2
,故an=1+
1
2
(n-1)=
1
2
n+
1
2

Sn=n+
1
2
n(n-1)
2
=
1
4
n2+
3
4
n

(II)∵an=nxnSn=n2yn
xn=
an
n
=
1
2
+
1
2n
yn=
Sn
n2
=
1
4
+
3
4n
,即得点Mn(
1
2
+
1
2n
,  
1
4
+
3
4n
)

x=
1
2
+
1
2n
,y=
1
4
+
3
4n
,消去n,得3x-2y-1=0,即直线C的方程为3x-2y-1=0,
y=
1
4
+
3
4n
是n的减函数,∴M1为Mn中的最高点,且M1(1,1),
又M3的坐标为(
2
3
1
2
),∴C与x轴、直线x=
2
3
、x=1
围成的图形为直角梯形,
从而直线C在[
2
3
,1]上的面积为S=
1
2
×(
1
2
+1)×(1-
2
3
)=
1
4

(III)由于直线C:3x-2y-1=0上的点列Mn依次为M1(1,1),M2
3
4
5
8
),M3
2
3
1
2
),…,Mn
1
2
+
1
2n
,  
1
4
+
3
4n
),…
lim
n→∞
(
1
2
+
1
2n
)=
1
2
,  
lim
n→∞
(
1
4
+
3
4n
)=
1
4

因此,点列Mn沿直线C无限接近于极限点M(
1
2
1
4
),
1
2
|M1M|=
1
2
(1-
1
2
)
2
+(1-
1
4
)
2
=
13
8
,M1M的中点为(
3
4
5
8
),
∴满足条件的圆存在,事实上,圆心为(
3
4
5
8
),半径r≥
13
8
的圆,就能使得Mn中任何一个点都在该圆的内部,其中半径最小的圆为(x-
3
4
)2+(y-
5
8
)2=
13
64
点评:本题考查等差数列的通项公式、求和公式及数列与直线圆的综合题,考查学生对问题的分析理解能力及转化能力.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网