题目内容
(2006•朝阳区一模)在各项均为正数的数列{an}中,前n项和Sn满足2Sn+1=an(2an+1),n∈N*.
(Ⅰ)证明{an}是等差数列,并求这个数列的通项公式及前n项和的公式;
(Ⅱ)在XOY平面上,设点列Mn(xn,yn)满足an=nxn,Sn=n2yn,且点列Mn在直线C上,Mn中最高点为Mk,若称直线C与x轴、直线x=a、x=b所围成的图形的面积为直线C在区间[a,b]上的面积,试求直线C在区间[x3,xk]上的面积;
(Ⅲ)是否存在圆心在直线C上的圆,使得点列Mn中任何一个点都在该圆内部?若存在,求出符合题目条件的半径最小的圆;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)证明{an}是等差数列,并求这个数列的通项公式及前n项和的公式;
(Ⅱ)在XOY平面上,设点列Mn(xn,yn)满足an=nxn,Sn=n2yn,且点列Mn在直线C上,Mn中最高点为Mk,若称直线C与x轴、直线x=a、x=b所围成的图形的面积为直线C在区间[a,b]上的面积,试求直线C在区间[x3,xk]上的面积;
(Ⅲ)是否存在圆心在直线C上的圆,使得点列Mn中任何一个点都在该圆内部?若存在,求出符合题目条件的半径最小的圆;若不存在,请说明理由.
分析:(Ⅰ)由2Sn=2
+an-1①,得2Sn+1=2
+an+1-1②,两式相减可得递推式,化简后由等差数列的定义可作出判断,根据等差数列通项公式及前n项和公式可得通项及前n项和;
(Ⅱ)由an=nxn,Sn=n2yn可得xn,yn,从而得点Mn,消掉参数n后可得直线C的方程,根据yn的单调性可求其最大值,从而得到最高点Mk,从而可得区间[x3,xk],易判断图形形状,由面积公式可求;
(Ⅲ)先列出直线C:3x-2y-1=0上的点列MnM1(1,1),M2(
,
),M3(
,
),…,Mn(
+
,
+
),…而
(
+
)=
,
(
+
)=
,
可知点列Mn沿直线C无限接近于极限点M(
,
),则以M1M为直径的圆为满足条件的最小圆;
a | 2 n |
a | 2 n+1 |
(Ⅱ)由an=nxn,Sn=n2yn可得xn,yn,从而得点Mn,消掉参数n后可得直线C的方程,根据yn的单调性可求其最大值,从而得到最高点Mk,从而可得区间[x3,xk],易判断图形形状,由面积公式可求;
(Ⅲ)先列出直线C:3x-2y-1=0上的点列MnM1(1,1),M2(
3 |
4 |
5 |
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2 |
3 |
1 |
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1 |
2 |
1 |
2n |
1 |
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4n |
lim |
n→∞ |
1 |
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2n |
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lim |
n→∞ |
1 |
4 |
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4n |
1 |
4 |
可知点列Mn沿直线C无限接近于极限点M(
1 |
2 |
1 |
4 |
解答:(Ⅰ)证明:由已知得2Sn=2
+an-1①,
故2Sn+1=2
+an+1-1②,
②-①得2an+1=2
-2
+an+1-an,
结合an>0,得an+1-an=
,
∴{an}是等差数列,
又n=1时,2a1=2
+a1-1,解得a1=1或a1=-
,∵an>0,∴a1=1,
又d=
,故an=1+
(n-1)=
n+
,
∴Sn=n+
•
=
n2+
n;
(II)∵an=nxn,Sn=n2yn,
∴xn=
=
+
,yn=
=
+
,即得点Mn(
+
,
+
),
设x=
+
,y=
+
,消去n,得3x-2y-1=0,即直线C的方程为3x-2y-1=0,
又y=
+
是n的减函数,∴M1为Mn中的最高点,且M1(1,1),
又M3的坐标为(
,
),∴C与x轴、直线x=
、x=1围成的图形为直角梯形,
从而直线C在[
,1]上的面积为S=
×(
+1)×(1-
)=
;
(III)由于直线C:3x-2y-1=0上的点列Mn依次为M1(1,1),M2(
,
),M3(
,
),…,Mn(
+
,
+
),…
而
(
+
)=
,
(
+
)=
,
因此,点列Mn沿直线C无限接近于极限点M(
,
),
又
|M1M|=
=
,M1M的中点为(
,
),
∴满足条件的圆存在,事实上,圆心为(
,
),半径r≥
的圆,就能使得Mn中任何一个点都在该圆的内部,其中半径最小的圆为(x-
)2+(y-
)2=
.
a | 2 n |
故2Sn+1=2
a | 2 n+1 |
②-①得2an+1=2
a | 2 n+1 |
a | 2 n |
结合an>0,得an+1-an=
1 |
2 |
∴{an}是等差数列,
又n=1时,2a1=2
a | 2 1 |
1 |
2 |
又d=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
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1 |
2 |
∴Sn=n+
1 |
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n(n-1) |
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4 |
(II)∵an=nxn,Sn=n2yn,
∴xn=
an |
n |
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2n |
Sn |
n2 |
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4n |
1 |
2 |
1 |
2n |
1 |
4 |
3 |
4n |
设x=
1 |
2 |
1 |
2n |
1 |
4 |
3 |
4n |
又y=
1 |
4 |
3 |
4n |
又M3的坐标为(
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2 |
2 |
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从而直线C在[
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(III)由于直线C:3x-2y-1=0上的点列Mn依次为M1(1,1),M2(
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而
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2n |
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lim |
n→∞ |
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4n |
1 |
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因此,点列Mn沿直线C无限接近于极限点M(
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又
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∴满足条件的圆存在,事实上,圆心为(
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点评:本题考查等差数列的通项公式、求和公式及数列与直线圆的综合题,考查学生对问题的分析理解能力及转化能力.
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