题目内容
19.已知实数a,b满足a≥b>0,则($\frac{1+3a}{1+a}$)2+($\frac{4+b}{1+b}$)2的最小值为$\frac{121}{13}$.分析 换元法和不等式的性质可得(3-$\frac{2}{1+a}$)2≥(3-$\frac{2}{1+b}$)2,代入已知式子可得$\frac{1}{1+b}$的二次函数形式,由二次函数的知识可得.
解答 解:令t=$\frac{1+3a}{1+a}$=$\frac{3(1+a)-2}{1+a}$=3-$\frac{2}{1+a}$,
∵a≥b>0,∴t=3-$\frac{2}{1+a}$在[b,+∞)上单调递增,
∴当a=b时,t取最小值3-$\frac{2}{1+b}$,即t≥3-$\frac{2}{1+b}$,
∴(3-$\frac{2}{1+a}$)2≥(3-$\frac{2}{1+b}$)2,
∴($\frac{1+3a}{1+a}$)2+($\frac{4+b}{1+b}$)2≥(3-$\frac{2}{1+b}$)2+($\frac{4+b}{1+b}$)2=(3-$\frac{2}{1+b}$)2+(1+$\frac{3}{1+b}$)2,
令y=(3-$\frac{2}{1+b}$)2+(1+$\frac{3}{1+b}$)2=$\frac{13}{(1+b)^{2}}$-$\frac{6}{1+b}$+10=13($\frac{1}{1+b}$-$\frac{3}{13}$)2-13×$\frac{9}{1{3}^{2}}$+10
由二次函数的知识可得y≥$\frac{121}{13}$,即已知式子的最小值为$\frac{121}{13}$
故答案为:$\frac{121}{13}$.
点评 本题考查函数的最值,换元法和分离常数是解决问题的关键,属中档题.
练习册系列答案
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