题目内容
已知函数f（x）=x3+
，x∈[-3，-1]．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）设a≥1，函数g（x）=x3-3a2x+14a-1，若对于任意x1∈[-3，-1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．
| 48 | x |
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）设a≥1，函数g（x）=x3-3a2x+14a-1，若对于任意x1∈[-3，-1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．
分析：（Ⅰ）利用导数法分析函数f（x）的单调性，并求出区间两个端点及函数极值点的函数值，比较后，可得函数的最小值和最大值，进而得到连续函数f（x）的值域A；
（Ⅱ）利用导数法分析函数g（x）在区间[0，1]上的单调性，进而得到函数g（x）在区间[0，1]上的值域B，结合对于任意x1∈[-3，-1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，即B?A，并由集合包含关系的定义，构造关于a的不等式组，解不等式组，可得a的取值范围．
（Ⅱ）利用导数法分析函数g（x）在区间[0，1]上的单调性，进而得到函数g（x）在区间[0，1]上的值域B，结合对于任意x1∈[-3，-1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，即B?A，并由集合包含关系的定义，构造关于a的不等式组，解不等式组，可得a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+
，
∴f′（x）=3x2-
=
．
令f′（x）=0，结合x∈[-3，-1]．解得 x=-2．----------（2分）
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如右表：
所以，当x∈（-3，-2）时，f（x）是增函数；
当x∈（-2，-1）时，f（x）是减函数；
当x∈[-3，-1]时，f（x）的值域为[-49，-32]．----------（4分）
（Ⅱ）∵g（x）=x3-3a2x+14a-1，
∴g′（x）=3x2-3a2，
∵a≥1，
∴当x∈（0，1）时，g′（x）≤0，g（x）为减函数，
故g（x）∈[g（1），g（0）]=[-3a2+14a，14a-1]．----------（7分）
若对于任意x1∈[-3，-1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则
[-3a2+14a，14a-1]?[-49，-32]，
即
解①式得 a≥7或a≤-
解②式得a≥-
，
故a的取值范围为a≥7．----------（10分）
| 48 |
| x |
∴f′（x）=3x2-
| 48 |
| x2 |
| 3(x4-16) |
| x2 |
令f′（x）=0，结合x∈[-3，-1]．解得 x=-2．----------（2分）
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如右表：
| x | -3 | （-3，-2） | -2 | （-2，-1） | -1 |
| f′（x） | + | 0 | - | ||
| f（x） | -43 | 增 | -32 | 减 | -49 |
当x∈（-2，-1）时，f（x）是减函数；
当x∈[-3，-1]时，f（x）的值域为[-49，-32]．----------（4分）
（Ⅱ）∵g（x）=x3-3a2x+14a-1，
∴g′（x）=3x2-3a2，
∵a≥1，
∴当x∈（0，1）时，g′（x）≤0，g（x）为减函数，
故g（x）∈[g（1），g（0）]=[-3a2+14a，14a-1]．----------（7分）
若对于任意x1∈[-3，-1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则
[-3a2+14a，14a-1]?[-49，-32]，
即
|
解①式得 a≥7或a≤-
| 7 |
| 3 |
解②式得a≥-
| 31 |
| 14 |
故a的取值范围为a≥7．----------（10分）
点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值，函数的值域，恒成立问题，是函数图象和性质与导函数的综合应用，难度较大．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|