Question

已知函数f（x）=x³+

48

x

，x∈[-3，-1]．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）设a≥1，函数g（x）=x³-3a²x+14a-1，若对于任意x₁∈[-3，-1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数法分析函数f（x）的单调性，并求出区间两个端点及函数极值点的函数值，比较后，可得函数的最小值和最大值，进而得到连续函数f（x）的值域A；
（Ⅱ）利用导数法分析函数g（x）在区间[0，1]上的单调性，进而得到函数g（x）在区间[0，1]上的值域B，结合对于任意x₁∈[-3，-1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，即B?A，并由集合包含关系的定义，构造关于a的不等式组，解不等式组，可得a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+

48

x

，
∴f′（x）=3x²-

48

x2

=

3(x4-16)

x2

．
令f′（x）=0，结合x∈[-3，-1]．解得 x=-2．----------（2分）
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如右表：

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，-1）	-1
f′（x）		+	0	-
f（x）	-43	增	-32	减	-49

所以，当x∈（-3，-2）时，f（x）是增函数；
当x∈（-2，-1）时，f（x）是减函数；
当x∈[-3，-1]时，f（x）的值域为[-49，-32]．----------（4分）
（Ⅱ）∵g（x）=x³-3a²x+14a-1，
∴g′（x）=3x²-3a²，
∵a≥1，
∴当x∈（0，1）时，g′（x）≤0，g（x）为减函数，
故g（x）∈[g（1），g（0）]=[-3a²+14a，14a-1]．----------（7分）
若对于任意x₁∈[-3，-1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，则
[-3a²+14a，14a-1]?[-49，-32]，
即

-3a2+14a≤-49，① 14a-1≥-32，②

解①式得 a≥7或a≤-

7

3

解②式得a≥-

31

14

，
故a的取值范围为a≥7．----------（10分）

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值，函数的值域，恒成立问题，是函数图象和性质与导函数的综合应用，难度较大．