题目内容
离心率为的椭圆C1的长轴两端点分别是双曲线C2:的两焦点.(1)求椭圆C1的方程;
(2)直线y=x+m与椭圆C1交于A,B两点,与双曲线C2两条渐近线交于P,Q两点,且P,Q在A,B之间,使|AP|,|PQ|,|QB|成等差数列,求m的值.
【答案】分析:(1)椭圆C1的方程为(a>b>0),根据题意列方程组,解出即可;
(2)由|AP|,|PQ|,|QB|成等差数列,可得|AP|+|QB|=2|PQ|,则|AB|=|AP|+|PQ|+|QB|=3|PQ|,利用弦长公式表示出|AB|,根据两点间距离公式表示出|PQ|,解此关于m方程即可.
解答:解:(1)设椭圆C1的方程为(a>b>0),
由题意知a2=1+4=5,所以a=,
又,所以,解得c=,则b2=a2-c2=5-=.
故椭圆C1的方程为.
(2)由,得3x2+4mx+2m2-5=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,
所以|AB|==•==•.
双曲线的渐近线方程为:y=2x,y=-2x,
由解得,由解得,
所以两交点P,Q的坐标为(m,2m),(-,),
|PQ|==,
因为|AP|,|PQ|,|QB|成等差数列,所以|AP|+|QB|=2|PQ|,所以|AB|=|AP|+|PQ|+|QB|=3|PQ|,
故•=3,解得m=±.
故m的值为±.
点评:本题考查椭圆的标准方程的求解及直线与圆锥曲线的位置关系问题,考查数形结合思想,考查学生分析问题解决问题的能力,直线与圆锥曲线的位置关系问题是解析几何中重要题型,弦长公式、两点间距离公式、韦达定理、判别式等解决该类问题的基础知识,须熟练掌握.
(2)由|AP|,|PQ|,|QB|成等差数列,可得|AP|+|QB|=2|PQ|,则|AB|=|AP|+|PQ|+|QB|=3|PQ|,利用弦长公式表示出|AB|,根据两点间距离公式表示出|PQ|,解此关于m方程即可.
解答:解:(1)设椭圆C1的方程为(a>b>0),
由题意知a2=1+4=5,所以a=,
又,所以,解得c=,则b2=a2-c2=5-=.
故椭圆C1的方程为.
(2)由,得3x2+4mx+2m2-5=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,
所以|AB|==•==•.
双曲线的渐近线方程为:y=2x,y=-2x,
由解得,由解得,
所以两交点P,Q的坐标为(m,2m),(-,),
|PQ|==,
因为|AP|,|PQ|,|QB|成等差数列,所以|AP|+|QB|=2|PQ|,所以|AB|=|AP|+|PQ|+|QB|=3|PQ|,
故•=3,解得m=±.
故m的值为±.
点评:本题考查椭圆的标准方程的求解及直线与圆锥曲线的位置关系问题,考查数形结合思想,考查学生分析问题解决问题的能力,直线与圆锥曲线的位置关系问题是解析几何中重要题型,弦长公式、两点间距离公式、韦达定理、判别式等解决该类问题的基础知识,须熟练掌握.
练习册系列答案
相关题目