题目内容
定义双曲正弦函数y=sin hx=
(ex-e-x),双曲余弦函数y=cos hx=
(ex+e-x).
(1)各写出四条双曲正弦函数和双曲余弦函数的性质.(定义域除外)
(2)给出双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式,探究并证明六者间的平方关系.
(3)模仿三角函数中两角的和与差关系,探究并证明双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数的“两角”和与差关系.
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(1)各写出四条双曲正弦函数和双曲余弦函数的性质.(定义域除外)
(2)给出双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式,探究并证明六者间的平方关系.
(3)模仿三角函数中两角的和与差关系,探究并证明双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数的“两角”和与差关系.
分析:(1)由sin hx=
(ex-e-x) 是奇函数,单调递增,无周期性,值域为R.同理写出cos hx=
(ex+e-x)的性质.
(2)利用同角三角函数的基本关系可得双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式,计算求得 cos h2(x)-sin h2(x)=1;cot h2(x)-csc h2(x)=1;tan h2(x)+sec h2(x)=1.
(3)利用两角和差的三角公式,写出sin h(x+y)、sin h(x-y)、cos h(x+y)、tan h(x+y)及tan h(x-y )的表达式.
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(2)利用同角三角函数的基本关系可得双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式,计算求得 cos h2(x)-sin h2(x)=1;cot h2(x)-csc h2(x)=1;tan h2(x)+sec h2(x)=1.
(3)利用两角和差的三角公式,写出sin h(x+y)、sin h(x-y)、cos h(x+y)、tan h(x+y)及tan h(x-y )的表达式.
解答:解:(1)sin hx=
(ex-e-x) 奇函数,单调递增,无周期性,值域为R.
cos hx=
(ex+e-x) 偶函数,R上无单调,无周期性,值域为[1,+∞).
(2)tan hx=
;cot hx=
;sec hx=
;csc hx=
.
cos h2(x)-sin h2(x)=1;cot h2(x)-csc h2(x)=1;tan h2(x)+sec h2(x)=1.
(3)sin h(x+y)=sin h(x)•cos h(y)+cos h(x)•sin h(y),
sin h(x-y)=sin h(x)•cos h(y)-cos h(x)•sin h(y),
cos h(x+y)=cos h(x)•cos h(y)+sin h(x)•sin h(y),
cos h(x-y)=cos h(x)•cos h(y)-sin h(x)•sin h(y),
tan h(x+y)=
;tan h(x-y)=
.
1 |
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cos hx=
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(2)tan hx=
sinhx |
coshx |
coshx |
sinhx |
1 |
coshx |
1 |
sinhx |
cos h2(x)-sin h2(x)=1;cot h2(x)-csc h2(x)=1;tan h2(x)+sec h2(x)=1.
(3)sin h(x+y)=sin h(x)•cos h(y)+cos h(x)•sin h(y),
sin h(x-y)=sin h(x)•cos h(y)-cos h(x)•sin h(y),
cos h(x+y)=cos h(x)•cos h(y)+sin h(x)•sin h(y),
cos h(x-y)=cos h(x)•cos h(y)-sin h(x)•sin h(y),
tan h(x+y)=
tanh(x)+tanh(y) |
1+tanh(x)•tanh(y) |
tanh(x)-tanh(y) |
1-tanh(x)•tanh(y) |
点评:本题考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用,是一道基础题.
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