Question

常数e=

lim

n→∞

(1+

1

n

)n=2.718281828459…，定义函数f(x)=

ex-e-x

2

为双曲正弦函数，记为sinhx，定义函数g(x)=

ex+e-x

2

为双曲余弦函数，记为coshx．则以下三个命题正确的是

（2）

．（只需填正确命题序号）
（1）cosh（x+y）=coshx•coshy-sinhx•sinhy；
（2）sinh（x+y）=sinhx•coshy+coshx•sinhy；
（3）（sinhx）²-（coshx）²=1．

Answer 1

分析：（1）根据题中的新定义分别表示出cosh（x+y），coshx，coshy，sinhx，sinhy，利用同底数幂的乘法法则及多项式的乘法法则计算coshx•coshy-sinhx•sinhy，即可作出判断；
（2）根据题中的新定义分别表示出sinh（x+y），coshx，coshy，sinhx，sinhy，利用同底数幂的乘法法则及多项式的乘法法则计算sinhx•coshy+coshx•sinhy，即可作出判断；
（3）根据题中的新定义分别表示出sinhx，coshx，利用同底数幂的乘法法则及多项式的乘法法则计算（sinhx）²-（coshx）²，即可作出判断．

解答：解：（1）cosh（x+y）=

ex+y+e-(x+y)

2

，
coshx•coshy-sinhx•sinhy
=

ex+e-x

2

•

ey+e-y

2

-

ex-e-x

2

•

ey-e-y

2

=

ex-y+ey-x

2

，
∴cosh（x+y）≠coshx•coshy-sinhx•sinhy，
故本选项错误；
（2）sinh（x+y）=

ex+y-e-(x+y)

2

sinhx•coshy+coshx•sinhy
=

ex-e-x

2

•

ey+e-y

2

+

ex+e-x

2

•

ey-e-y

2

=

ex+y-e-(x+y)

2

，
故本选项正确；
（3）（sinhx）²-（coshx）²
=（

ex-e-x

2

）²-（

ex+e-x

2

）²
=-1≠1，
故本选项错误，
则三个命题正确的是（2）．
故答案为：（2）

点评：此题考查了新定义的理解，解答此类题要切实对题中的新定义以正确的理解，这样才能对新定义下的运算熟练运用，注意新定义下对普通运算不一定成立，比如本题（1）对于两角和与差的余弦函数公式不成立，灵活运用题中的新定义是解本题的关键．