题目内容
已知函数(m为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),函数 的最小值为1,其中 是函数f(x)的导数.
(1)求m的值.
(2)判断直线y=e是否为曲线f(x)的切线,若是,试求出切点坐标和函数f(x)的单调区间;若不是,请说明理由.
(1) 1 ;(2)是,(1,e);单调减区间(0,+∞).
解析试题分析:(1)求导数,转化为分式不等式,最后根据不等式的基本性质求解即可.(2)利用导数的几何意义,求过(1,e)的切线即可验证.
试题解析:由,得,∞),
=,
所以2-m=1,解得m=1.
(2)由(1)得,得,令h(x)=,则=,
当时,>0,当∞)时,<0,所以h(x)max=h(1)=0.
又因为ex>0,所以可得当∞)时,恒成立.故当∞)时,函数单调递减.
因为且,所以曲线在(1,e)点出的切线方程为y-e=0(x-1),即y=e.
所以直线y=e是曲线f(x)的切线,切点坐标(1,e),且在∞)上单调递减.
考点:1.求导;2.导数的几何意义;3.导数性质的应用.
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