题目内容
已知函数(是常数)在处的切线方程为,且.
(Ⅰ)求常数的值;
(Ⅱ)若函数()在区间内不是单调函数,求实数的取值范围;
(Ⅲ)证明:.
(Ⅰ),,;(Ⅱ)实数的取值范围是;(Ⅲ)详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)求常数的值,由函数(是常数)在处的切线方程为,只需对求导,让它的导数在处的值即为切线的斜率,这样能得到的一个关系式,由,代入函数中,又得到的一个关系式,因为三个参数,需再找一个关系式,,注意到在切线上,可代入切线方程得到的一个关系式,三式联立方程组即可,解此类题,关键是找的关系式,有几个参数,需找几个关系式;(Ⅱ)若函数()在区间内不是单调函数,即它的导函数在区间内不恒正或恒负,即在区间内有极值点,而,只要在区间内有解,从而转化为二次函数根的分布问题,分两种情况:在区间内有一解,在区间内有两解,结合二次函数图像,从而求出实数的取值范围;(Ⅲ)证明:,注意到 ,只需证明在上即可,即,而,只需证明在上即可,而,即,只需证在上为减函数,这很容易证出,此题构思巧妙,考查知识点多,学科知识点融合在一起,的确是一个好题,起到把关题作用.
试题解析:(Ⅰ)由题设知,的定义域为,, 因为在处的切线方程为,所以,且,即,且, 又 ,解得,,,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 因此,,
所以,令. (ⅰ)当函数在内有一个极值时,在内有且仅有一个根,即在内有且仅有一个根,又因为,当,即时,在内有且仅有一个根,当时,应有
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