Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列，并求出a_n的表达式；
（Ⅱ）设数列{

1

an•an+1

}的前n项和T_n，试求T_n的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据等差数列的定义证明数列{a_n}为等差数列，并求出a_n的表达式；
（Ⅱ）利用裂项法进行求和．

解答：解：（Ι）由S_n=na_n-2n（n-1），得a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n，
∴a_n+1-a_n=4，
即{a_n}是以1为首项，公差为4的等差数列．
∴a_n=4n-3．
（Ⅱ）∵

1

an•an+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1)

)，
∴T_n=

1

1×5

+

1

5×9

+???+

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+???+

1

4n-3

-

1

4n+1

)=

1

4

(1-

1

4n+1

)=

n

4n+1

＜

1

4

，
又易知T_n单调递增的，故Tn≥T1=

1

5

，
∴

1

5

≤Tn＜

1

4

，
即T_n的范围是[

1

5

，

1

4

）．

点评：本题主要考查等差数列的定义以及数列的求和，利用裂项法是解决本题的关键．