Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，且当x=

1

4

时，函数f（x）有最小值-

1

8

．数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

2

anan+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜

m

20

对所有n∈N都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析：（1）依题意，设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），由x=

1

4

时，函数f（x）有最小值-

1

8

，可得-

b

2a

=

1

4

，-

b2

4a

=-

1

8

，解出即可得到f（x）解析式，根据an=

a1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

即可求得a_n，注意检验n=1时的情况；
（2）由（1）写出bn表达式，并进行适当变形，利用裂项相消法即可求得T_n，T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立等价于T_n的最大值小于

m

20

，其最大值易求；

解答：解：（1）依题意，设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），
由于当x=

1

4

时，f（x）有最小值-

1

8

，
所以

- b 2a = 1 4 -b2 4a =- 1 8

，解得a=2，b=-1，
所以f（x）=2x²-x，
又点（n，S_n）（n∈N^*），均在函数y=f（x）的图象上，
所以S_n=2n²-n，
当n=1时，a1=S1=2×12-1=1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2-n)-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3；
a₁=1也适合上式，
所以a_n=4n-3（n∈N^*）．
（2）由（1）得b_n=

2

anan+1

=

2

(4n-3)(4n+1)

=

1

2

（

1

4n-3

-

1

4n+1

），
所以T_n=

1

2

[（1-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+…+（

1

4n-3

-

1

4n+1

）]=

1

2

（1-

1

4n+1

）．
因此，要使

1

2

（1-

1

4n+1

）＜

m

20

（n∈N^*）成立，m必须且只需满足

1

2

≤

m

20

，即m≥10，
故满足要求的最小正整数m为10．

点评：本题考查数列递推式、数列与函数、数列与不等式的综合，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性强，对能力有一定要求．