题目内容

A．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
B．已知矩阵A=．
（1）求逆矩阵A-1；
（2）若矩阵X满足，试求矩阵X．
C．坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：ρcos（θ+）=2与曲线C2：
，（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
D．已知x，y，z均为正数，求证：．

【答案】分析：A、证明△PDF∽△POC，由于有公共角∠P，证明∠PFD=∠OCP即可；
B．（1）设A-1=，利用A-1A=E，即可求得；（2）利用（1）的逆矩阵可求；
C、先将极坐标方程化为普通方程，再将这两个方程联立，消去x，得y2-4y-16=0，再由韦达定理研究；
D、利用基本不等式证明，，，即可证得结论．
解答：A、证明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，
又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，
∴∠PFD=∠OCP
在△PDF与△POC中，∠P=∠P，∠PFD=∠OCP，∴△PDF∽△POC；
B．解：（1）设A-1=，则==．
∴，解得，∴A-1=．
（2）．
C．证明：曲线C1的直角坐标方程x-y=4，曲线C2的直角坐标方程是抛物线y2=4x，
设A（x1，y1），B（x2，y2），将这两个方程联立，消去x，得y2-4y-16=0
∴y1y2=-16，y1+y2=4，
∴x1x2+y1y2=（y1+4）（y2+4）+y1y2=2y1y2+4（y1+y2）+16=0
∴，∴OA⊥OB
D． 证明：因为x，y，z都是为正数，所以
同理可得，，当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得
点评：本题考查选讲内容，考查知识点多，综合性强，用到知识多，属于中档题．
练习册系列答案
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x=cosα
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个．
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．
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3
3
3
3
．
C．（极坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知曲线ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，则实数a的值为
2或-8
2或-8
．
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5
3
}
{x|x＜-7或x＞
5
3
}
；
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x=-2+2cosα
y=2sinα
（α为参数），若以点O（0，0）为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是
ρ=-4cosθ
ρ=-4cosθ
．

C．（几何证明选讲选做题） 如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，弧AE=弧AC，DE交AB于F，且AB=2BP=4，则PF=
3
3
．
A．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
B．已知矩阵A=
.
1-2
3-7
.
．
（1）求逆矩阵A-1；
（2）若矩阵X满足AX=
3
1
，试求矩阵X．
C．坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：ρcos（θ+
π
4
）=2
2
与曲线C2：
x=4t2
y=4t
，（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
D．已知x，y，z均为正数，求证：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

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