题目内容
函数f（x）=ax3+bx2+cx+3-a，（a，b，c∈R，且a≠0）当x=-1时，f（x）取得极大值2（1）用关于a的代数式分别表示b与c．
（2）求a的取值范围．
分析：（1）求出函数的导函数，由已知在x=-1处f（x）取得极大值2，代入可得方程组
，进一步得到a，b，c的关系．
（2）在（1）的基础上得到函数f（x）的导数f′（x）=3ax2+2（a+1）x+2-a，由已知要使函数f（x）有极大值需要对二次项系数a和极值点进行讨论，易得结论．
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（2）在（1）的基础上得到函数f（x）的导数f′（x）=3ax2+2（a+1）x+2-a，由已知要使函数f（x）有极大值需要对二次项系数a和极值点进行讨论，易得结论．
解答：解：（1）f′（x）=3ax2+2bx+c∴
（2）由（1）得f′(x)=3ax2+2(a+1)x+2-a=3a(x+1)(x-
)
令f′（x）=0解得x1=-1，x2=
∴要使f（x）极大值为f（-1）=2，则
＞-1或
＜-1
∴a＞
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（2）由（1）得f′(x)=3ax2+2(a+1)x+2-a=3a(x+1)(x-
| a-2 |
| 3a |
令f′（x）=0解得x1=-1，x2=
| a-2 |
| 3a |
∴要使f（x）极大值为f（-1）=2，则
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∴a＞
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查了函数的导数，导数的几何意义，以及利用导数解答函数的极值问题．考查了二次函数的性质，综合考查了函数的零点以及分类讨论的数学思想．
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