Question

3．设S为非空数集，若?x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集，下列命题：
①实数集是封闭集
②封闭集一定是无限集
③若S为封闭集，则一定有0∈S
④若S，T为封闭集且满足S⊆U⊆T，则集合U也是封闭集
其中真命题的序号是①③（把所有真命题的序号都填上）

Answer 1

分析 利用封闭集的定义，列举反例，对选项逐一判断即可．

解答 解：对于①，实数集是封闭集，满足封闭集的定义，∴①正确；
对于②，例如{0}就是封闭集，不一定是无限集，∴②不正确；
对于③，若S为封闭集，?x∈S，都有x-x∈S，即0∈S，则一定有0∈S．∴③正确；
对于④，例如S={0}，U={0，1}，T=R，不满足封闭集的定义，所以若S，T为封闭集且满足S⊆U⊆T，则集合U也是封闭集，不正确，∴④不正确．
正确命题为：①③．
故答案为：①③．

点评 本题考查封闭集的定义的应用，命题的真假的判断，基本知识的理解与应用．