Question

已知函数f（x）=ax-3，g（x）=bx^-1+cx^-2（a，b∈R）且g(-

1

2

)-g(1)=f(0)．
（1）试求b，c所满足的关系式；
（2）若b=0，方程f（x）=g（x）在（0，+∞）有唯一解，求a的取值范围；
（3）若b=1，集合A={x|f（x）＞g（x），g（x）＜0}，试求集合A；

Answer 1

分析：（1）且g(-

1

2

)-g(1)=f(0)得（-2b+4c）-（b+c）=-3，求出b，c所满足的关系式即可；
（2）由b=0，b-c-1=0，可得c=-1，因为方程f（x）=g（x），即ax-3=-x^-2，可化为a=3x^-1-x^-3，令x^-1=t则由题意可得，a=3t-t³在（0，+∞）上有唯一解．令h（t）=3t-t³（t＞0），求出h'（t）解出t，分区间讨论函数的增减性，得到函数的极大值，得到a的取值范围即可；
（3）由b=1解出c，则集合A={x|f（x）＞g（x）且g(x)＜0}={x|ax-3＞

1

x

且x＜0}={x|ax²-3x-1＜0且x＜0}，讨论a的取值来决定A中的元素即可得到A．

解答：解：（1）由g(-

1

2

)-g(1)=f(0)，得（-2b+4c）-（b+c）=-3，
∴b，c所满足的关系式为b-c-1=0．
（2）由b=0，b-c-1=0，可得c=-1，因为方程f（x）=g（x），即ax-3=-x^-2，可化为a=3x^-1-x^-3，令x^-1=t
则由题意可得，a=3t-t³在（0，+∞）上有唯一解．
令h（t）=3t-t³（t＞0），由h'（t）=3-3t²=0，可得t=1，
当0＜t＜1时，由h'（t）＞0，可知h（t）是增函数；
当t＞1时，由h'（t）＜0，可知h（t）是减函数，故当t=1时，h（t）取极大值2；
由函数h（t）的图象可在，当a=2或a≤0时，方程f（x）=g（x）有且仅有一个正实数解．
故所求a的取值范围为{a|a=2或a≤0}．
（3）由b=1，b-c-1=0，可得c=0，A={x|f（x）＞g（x）且g(x)＜0}={x|ax-3＞

1

x

且x＜0}={x|ax²-3x-1＜0且x＜0}，
当a＞0时，A=(

3- 9+4a

2a

，0)；
当a=0时，A=(-

1

3

，0)；
当a＜-

9

4

时，（△=9+4a＜0），A=（-∞，0）；
当a=-

9

4

时，A={x|x＜0且x≠-

2

3

}；
当-

9

4

＜a＜0时，A=(-∞，

3+ 9+4a

2a

)∪(

3- 9+4a

2a

，0)．

点评：本题考查了函数与方程的综合应用，利用换元法转化成二次方程进行求解，利用导数研究函数增减性的能力．