题目内容
21. 已知函数在区间内各有一个极值点.(Ⅰ)求的最大值;
(Ⅱ)当时,设函数在点处的切线为,若l在点A处穿过的图象(即动点在点A附近沿曲线运动,经过点A时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式.
解:(Ⅰ)因为函数在区间[-1,1],(1,3)内分别有一个极值点,所以=x2+ax+b=0在[-1,1],(1,3)内分别有一个实根,设两实根为x1、x2(x1<x2=,则x2–x1=,且0<x2-x1≤4,于是0〈≤4,0〈a2-4b≤16,且当x1=-1,x2=3,即a=-2,b=-3时等号成立,故a2-4b的最大值是16.
(Ⅱ)解法一 由f′(1)=1+a+b知f(x)在点(1,f(1))处的切线l的方程是
y-f(1)=f′(1)(x-1),即y=(1+a+b)x--a.
因为切线l在点A(1,f(1))处穿过y=f(x)的图象,
所以g(x)=f(x)-[(1+a+b)x--a]在x=1两边附近的函数值异号,则x=1不是g(x)的极值点.
而g(x)=x3+ax2+bx-(1+a+b)x++a,且
g′(x) =x2+ax+b-(1+a+b)=x2+ax-a-1=(x-1)(x+1+a),
若1≠-1-a,则x=1和x=-1-a都是g(x)的极值点.
所以1=-1-a,即a=-2.又由a2-4b=8,得b=-1,故f(x)= x3–x2–x.
解法二 同解法一得g(x)=f(x)-[(1+a+b)x--a]= (x-1)[x2+(1+)x-(2+a)].
因为切线l在点A(1,f(1))处穿过y=f(x)的图象,所以g(x)在x=1两边附近的函数值异号。于是存在m1、m2(m1<1<m2),当m1<x<1时,g(x)<0,当1<x<m2时,g(x)>0;或当m1<x<1时,g(x)>0,当1<x<m2时,g(x)<0.
设h(x)=x2+(1+)x-(2+),则当m1<x<1时,h(x)>0,当1<x<m2时,h(x)>0;或当m1<x<1时,h(x)<0时,当1<x<m2时,h(x)<0.
由h(1)=0知x=1是h(x)的一个极值点,则h′(1)=2×1+1+=0.所以a=-2.又由a2-4b=8,得b=-1.故f(x) =x3-x2-x.