题目内容
数列{an}中an>0,且由下列条件确定:a1=m>0,an+1=1 |
2 |
m |
an |
(1)证明:对n≥2,总有an≥
m |
(2)证明:对n≥2,总有an≥an+1.
分析:(1)由an+1的表达形式,结合基本不等式知识,可证.
(2)比较大小,常用作差比较,作商比较(项为正时)
(2)比较大小,常用作差比较,作商比较(项为正时)
解答:解:(1)证明:由a1=m>0,及an+1=
(an+
),an>0
从而有an+1=
(an+
)≥
=
(n∈N).(4分)
所以,当n≥2,总有an≥
成立.
(2)证法一:当n≥2时,因为an≥
>0,an+1=
(an+
)
所以an+1-an=
(an+
)-an=
•
≤0,(10分)
故当n≥2时,an≥an+1成立.
证法二:当n≥2时,因为an≥
>0,an+1=
(an+
)
所以
=
=
≤
=1
故当n≥2时,an≥an+1成立..(12分)
1 |
2 |
m |
an |
从而有an+1=
1 |
2 |
m |
an |
an•
|
m |
所以,当n≥2,总有an≥
m |
(2)证法一:当n≥2时,因为an≥
m |
1 |
2 |
m |
an |
所以an+1-an=
1 |
2 |
m |
an |
1 |
2 |
m-
| ||
an |
故当n≥2时,an≥an+1成立.
证法二:当n≥2时,因为an≥
m |
1 |
2 |
m |
an |
所以
an+1 |
an |
| ||||
an |
| ||
2
|
| ||||
|
故当n≥2时,an≥an+1成立..(12分)
点评:本题借助于数列的形式,实际上主要考查了不等式的基础知识与基本方法.
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