题目内容

数列{an}中an>0,且由下列条件确定:a1=m>0,an+1=
1
2
(an+
m
an
),n∈N*

(1)证明:对n≥2,总有an
m

(2)证明:对n≥2,总有an≥an+1
分析:(1)由an+1的表达形式,结合基本不等式知识,可证.
(2)比较大小,常用作差比较,作商比较(项为正时)
解答:解:(1)证明:由a1=m>0,及an+1=
1
2
(an+
m
an
)
,an>0
从而有an+1=
1
2
(an+
m
an
)≥
an
m
an
=
m
(n∈N)
.(4分)
所以,当n≥2,总有an
m
成立.
(2)证法一:当n≥2时,因为an
m
>0,an+1=
1
2
(an+
m
an
)

所以an+1-an=
1
2
(an+
m
an
)-an=
1
2
m-
a
2
n
an
≤0
,(10分)
故当n≥2时,an≥an+1成立.
证法二:当n≥2时,因为an
m
>0,an+1=
1
2
(an+
m
an
)

所以
an+1
an
=
1
2
(an+
m
an
)
an
=
a
2
n
+m
2
a
2
n
a
2
n
+
a
2
n
2
2
n
=1

故当n≥2时,an≥an+1成立..(12分)
点评:本题借助于数列的形式,实际上主要考查了不等式的基础知识与基本方法.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网