题目内容
在数列{an}中，如果存在正整数T，使得an+T=an对于任意正整数n均成立，那么就称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．已知数列{xn}满足xn+2=|xn+1-xn|(x∈N*)，若x1=1，x2=a（a≤1，a≠0），当数列{xn}的周期为3时，则数列{xn}的前2014项的和S2014为（ ）
分析：利用x1=1，x2=a（a≤1，a≠0），xn+2=|xn+1-xn|（n∈N*）．可得x3=|x2-x1|=1-a．x4=|x3-x2|=|1-2a|，再利用周期为3可得x4=x1，a≠0，于是2a-1=1，解得a，可得x1+x2+x3=1+a+1-a=2．再利用周期性可求数列{xn}的前2014项的和S2014．
解答：解：∵x1=1，x2=a（a≤1，a≠0），xn+2=|xn+1-xn|，
∴x3=|a-1|，又数列{xn}的周期为3，
∴x4=|x3-x2|=||a-1|-a|=x1=1，
解得：a=1或a=0，
∵a≠0，∴a=1，
∴x1=1，x2=1，x3=0；
即x1+x2+x3=2；
同理可得，x4=1，x5=1，x6=0，
x4+x5+x6=2；
…
x2011+x2012+x2013=2；
又x2014=x1=1，2014=671×3+1，
∴S2014=x1+x2+x3+…+x2014
=671×（1+1+0）+1
=1343．
故选D．
∴x3=|a-1|，又数列{xn}的周期为3，
∴x4=|x3-x2|=||a-1|-a|=x1=1，
解得：a=1或a=0，
∵a≠0，∴a=1，
∴x1=1，x2=1，x3=0；
即x1+x2+x3=2；
同理可得，x4=1，x5=1，x6=0，
x4+x5+x6=2；
…
x2011+x2012+x2013=2；
又x2014=x1=1，2014=671×3+1，
∴S2014=x1+x2+x3+…+x2014
=671×（1+1+0）+1
=1343．
故选D．
点评：本题考查数列的求和，着重考查函数的周期性，得到相邻三项之和为2是关键，属于中档题．
练习册系列答案
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
相关题目
6、在数列{an}中，a1=1，an=an-1+n，n≥2．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是（ ）
在数列{an}中，a1=1，an=an-1+n，n≥2．为计算这个数列前5项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处应填