如图.四边形ABCD是正方形.以AD为直径作半圆DEA(其中E是$\widehat{AD}$的中点).若动点P从点A出发.按如下路线运动:A→B→C→D→E→A→D.其中$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+2μ\overrightarrow{AE}$.则下列判断中:①不存在点P使λ+μ=1,②满足λ+μ=2的点P有两个,③� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

如图，四边形ABCD是正方形，以AD为直径作半圆DEA（其中E是$\widehat{AD}$的中点），若动点P从点A出发，按如下路线运动：A→B→C→D→E→A→D，其中$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+2μ\overrightarrow{AE}$（λ、μ∈R），则下列判断中：
①不存在点P使λ+μ=1；
②满足λ+μ=2的点P有两个；
③λ+μ的最大值为3；
④若满足λ+μ=k的点P不少于两个，则k∈（0，3）．
正确判断的序号是②③．（请写出所有正确判断的序号）

分析建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示得出$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+2μ\overrightarrow{AE}$；
讨论点P在AB、BC、CD以及弧DEA和AD上运动时，λ、μ的取值范围，
对给出的命题进行分析、判断，从而得出正确的结论．

解答解：建立平面直角坐标系，如图所示；
设点A（0，0），B（1，0），
∴点C（1，1），D（0，1），E（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
延长AE至F，使AF=2AE，∴点F（-1，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，0），2$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AF}$=（-1，1）；
∴$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+2μ\overrightarrow{AE}$=λ（1，0）+μ（-1，1）=（λ-μ，μ）；
当点P在AB上运动时，$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，λ从0增大到1，μ=0，∴λ+μ∈[0，1]；
当点P在BC上运动时，λ从1增大到2，μ从0增大到1，∴λ+μ∈[1，3]；
当点P在CD上运动时，λ从2减小到1，μ=1，∴λ+μ∈[1，3]；
当点P在弧DEA上运动时，-$\frac{1}{2}$≤λ≤$\frac{1}{2}$，0≤μ≤$\frac{1}{2}$，∴λ+μ∈[-$\frac{1}{2}$，1]；
当点P在AD上运动时，0≤λ≤1，0≤μ≤1，0≤λ+μ≤2；
综上，对于①，不妨令λ=1，μ=0，则λ+μ=1，$\overrightarrow{AP}$=（1，0），P与点B重合，∴①错误；
对于②，当λ=μ=1时，λ+μ=2，$\overrightarrow{AP}$=（0，1），点P与点D重合，
当λ=$\frac{3}{2}$，μ=$\frac{1}{2}$时，λ+μ=2，$\overrightarrow{AP}$=（1，$\frac{1}{2}$），点P是BC的中点，
∴满足条件的点P有两个，②正确；
对于③，当点P与点C重合时，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AC}$=（1，1），∴$\left\{\begin{array}{l}{λ-μ=1}\\{μ=1}\end{array}\right.$，得λ=2，μ=1，
此时λ+μ取得最大值为3，③正确；
对于④，当满足λ+μ=k的点P不少于两个时，则k∈（-$\frac{1}{2}$，3），∴④错误；
综上，正确的命题是②③．
故答案为：②③．

点评本题考查了平面向量运算问题，也考查了线性规划的应用以及直线与圆位置关系的应用问题，是综合性题目．

练习册系列答案

1．某班共有学生54人，其中男生30人，为了调查该班学生对国学的兴趣情况，现按性别采用分层抽样的方法抽取一个容量为18的样本，则样本中女生的人数为8．

18．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（　　）

A．

$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

B．

C．

$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

D．

$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$

5．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（2sin²x，cos²x），$\overrightarrow{b}$=（-sin²x，2cos²x），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．要得到y=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x的图象，只需将y=f（x）的图象（　　）

	A．	向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度		B．	向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度
	C．	向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度		D．	向右平移在$\frac{π}{3}$个单位长度

15．已知函数f（x）=lnx-ax+1，且f（x）≤0恒成立，求a的范围．

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²，g（x）=lnax（a＞0）
（1）若不等式若不等式f（x）＜g（x）解集为空集，求实数a的取值范围；
（2）求证，$\frac{2^2-1}{ln2}$+$\frac{3^2-1}{ln3}$+…+$\frac{n^2-1}{lnn}$＞2（n-1）．（n≥2，n∈N）

3．已知离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$的双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为4，则a的值为（　　）

4．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．
甲说：我在1日和3日都有值班；
乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（　　）

试题分类